Homogeneização assintótica com transformada de Laplace na modelagem de meios microperiódicos
Resumo
Este trabalho inicia nosso estudo sobre a combinação de transformadas integrais com homogeneização matemática em uma metodologia integradora, visando simplificar a resolução de equações diferenciais em derivadas parciais com coeficientes rapidamente oscilantes, e problemas de valores de contorno e/ou iniciais. Especificamente, foram estudadas as seguintes ferramentas matemáticas: a transformada de Laplace, o método de homogeneização assintótica (MHA) e o método multicamadas de advecção-difusão (ADMM). Primeiramente, apresentamos uma breve introdução sobre o método da transformada de Laplace, contendo: sua definição, propriedades principais e inversão de forma analítica. Ainda, e desenvolvido um exemplo na qual resolvemos um problema de valores de contorno e iniciais para a equação do calor empregando as transformadas de Laplace direta e inversa. Além disso, estudamos o algoritmo de Talbot Fixo para a inversão numérica da transformada de Laplace. Deste algoritmo, analisamos a sua precisão e a sua convergência, para o qual foram empregadas funções teste e avaliado o erro máximo absoluto para vários valores dos parâmetros relevantes. A seguir, apresentamos detalhadamente o desenvolvimento do MHA no caso de um problema de valores de contorno para a equação elíptica não homogênea com coeficiente periódico, que descreve um campo térmico estacionário. Ainda, são mostrados os resultados da combinação da transformada de Laplace com o MHA para resolver formalmente um problema de valores de contorno e inicial para a equação parabólica não homogênea com coeficiente periódico. Especificamente, a equação resultante após aplicar a transformada de Laplace e uma equação elíptica, similar à apresentada anteriormente e contendo um termo advectivo e, por isso, a aplicação do MHA é quase imediata. Logo, do ADMM é apresentado o desenvolvimento da discretização para uma camada, duas camadas e n-camadas, e sua aplicação é ilustrada mediante a um exemplo numérico. Finalmente, comparamos a aplicação pura do ADMM e a combinação com o MHA para resolver um problema de valores de contorno e inicial para a equação do calor não homogênea, com coeficientes periódicos. Um exemplo é resolvido detalhadamente, incluindo o uso do algoritmo Talbot Fixo. A precisão e o custo computacional de ambas as abordagens são aferidas.